​数与代数之有限小数

数与代数之有限小数

一．概念描述

现代数学：小数是一种特殊的分数，但是又独立于分数。小数是十进制计数向相反方向延伸的结果。特殊的十等分的分数就是有限小数。

有限小数只能表示一部分的分数，大量的分数的小数表示是无限循环小数。

分数的小数表示定理为：设r/q是一个最简分数，它能用g进位的纯循环小数表示的充要条件是g和q没有公因子。

推论：如果g= 10，那么，一个既约分数能够表示为纯循环小数的充要条件是分母没有2，5的因数。

小学数学：2005年人教版教材五年级上册的第28页明确指出：小数部分的位数是有限的小数叫作有限小数。

二．概念解读

如“纯小数和带小数”概念解读部分所示，小数的值用分数式表示是

α+α1/10+α2/100+α3/1000+...

小数部分的数位自小数点起依次称为十分位、百分位、千分位……对于小数α.α1α2α3...，如果存在正整数i，使得从ai起向右，不再出现非零的数字，则此小数被称为有限小数或有尽小数，否则称为无限小数或无尽小数。在写出有限小数时，可以写到最后—个不为0的数位，或最多只写出部分为0的数位而略去其后所有的0，因此，通常见到的一般都是有限小数，如1. 414、9.50。由此可见，整数也可以表示成小数，只不过是有限小数罢了。有限小数用分数式表示只需有限项，所以一定可以化成分数。

三．教学建议

(1)在小数计算中体验“除尽与除不尽”

教师在教学中通常可以让学生在计算中体验商的小数部分有限。例如教师在上课伊始出示一组试题：12÷5 3.45÷5 10÷3 58.6÷11，让学生分组进行计算。学生在计算中就会感受到“第1、2两道题做得快，第3道题和第4道题做得慢”。这是为什么呢？他们可能会主动去观察思考：第1、第2 两题和第3、第4两题的商有什么特点？从而发现：第1题除到被除数的最后一位仍有余数，但补0后继续除就可以除尽；第2题的被除数虽然是小数，但也是可以除尽的；而第3题因为余数重复出现1，所以商就重复出现3，总也除不尽；第4题因为余数重复出现3和8，所以商就重复出现27，总也除不尽---教师可把重复出现的余数用红笔圈出以便于学生观察。

(2)在比较“有限”和“无限”中理解有限小数的意义

通常有限小数的教学与无限小数是分不开的，大多数是将两者进行对比加以区分。例如接着上面的情况，学生经过小数题组计算思考后进行讨论：第1、第2两题和第3、第4两题商的小数部分的位数有什么不同？经过师生之间、，生生之间的交流碰撞，得出：两个数相除，如果不能得到整数商，会有两种情况出现。第一种情况是，除到小数部分的某一位时不再有余数，商里的小数部分的位数是有限的，也就是被除数能够被除数除尽。例如，第1、第2题的商就属于这种情况。第二种情况是，除到小数部分后，余数重复出现，商也不断重复出现，商里小数部分的位数是无限的。例如，第3、第4题的商就是属于这种情况。最后，

建立概念---小数部分的位数是有限的小数，叫作有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫作无限小数。当小数部分的位数是无限的，可以用省略号表示。

四．推荐阅读

(1)《小学数学研究》（张奠宙等，高等教育出版社，2009）

该书的第四章《分数》，对小数和分数的内容本质以及在教学上的处理，进行了详细的研究。

(2)《数学辞海·第一卷》（裘光明，山西教育止版社，2002）

该书的第28页对小数进行了细致解读。